Урожаи и посевы - Страница 90

Примечания

(1). (Добавлено в марте 1984 г.) Кажется, здесь я немного перегнул палку. Утверждать, будто «стиль» и «метод» моей работы остались прежними, в то время как мой стиль изложения в математике преобразился до неузнаваемости, — это уже чересчур. Возьмем пример: вот уже год, как я размышляю над книгой «В погоне за стеками». За работой я почти не отрываюсь от пишущей машинки и все, что «выходит из-под пера» (по всем признакам, «черновой» вариант!), собираюсь публиковать как есть, безо всякой отделки. (Разумеется, чтобы облегчить труд читателя, в текст будут включены сравнительно короткие примечания, содержащие необходимые ссылки, поправки и проч.) Ни ножниц, ни клея для тщательной подготовки «окончательного» варианта рукописи (совершенного по форме: такого, чтобы в нем нельзя было уловить и следов кропотливого труда исследователя-чернорабочего) — это ли не перемена «стиля» и «метода»! Изложение мыслей на бумаге — та же математика; эти два вида работы («придумывать» и «записывать») так тесно связаны между собой, что разделить их во времени невозможно.

(2). (Добавлено в марте 1984 г.) Перечитывая два последних абзаца, я ощутил некоторую неловкость. В тот момент, когда я их писал, мне, очевидно, и в голову не приходило, что все сказанное может относиться и ко мне, а не только к другим. Я замечал те или иные вещи в других людях — и позднее, с течением лет, не раз убеждался в справедливости своих догадок. Но вот, даже изложив (и не без злорадства, как водится) свои открытия на бумаге, применять их к себе я так и не научился. Теперь, разбираясь в своих воспоминаниях, я увидел, что в прошлом я и сам не раз испытывал презрение к своему ближнему: это чувство не обошло меня стороной. Глядя на других, я отмечал, что в людях оно идет от скрытого презрения к себе самому. Было бы странно, если бы я оказался единственным исключением из этого правила. Это противоречило бы как здравому смыслу, так и моему личному опыту: я слишком хорошо знаю за собой обыкновение, глядя «вдаль», закрывать глаза на то, что творится у меня под носом — в первую очередь, в моей собственной душе. Однако, пока это лишь умозаключения — то есть не более, чем повод еще раз оглянуться на себя и на свое прошлое. Если и есть во мне это презрение к себе самому, то оно, должно быть, нарочно скрывается от меня: во всяком случае, до сих пор мне не удалось его обнаружить. Воистину, нет конца загадкам души человеческой! Но разрешить ту, с которой я только что столкнулся, мне сейчас представляется особенно важным: именно потому, что она все это время ускользала от моего взгляда.

(3). Здесь уместно поговорить, в частности, о покойных гипотезах Морделла, Тэйта и Шафаревича. Все три были доказаны в прошлом году в работе Фалтингса длиной в сорок страниц. Это случилось в тот самый момент, когда все, кто «разбирается» в данной области, дружно сошлись на том, что эти гипотезы находятся «вне пределов досягаемости» научной мысли. Вышло так, что «главная» гипотеза, на которой основана моя программа по «анабелевой алгебраической геометрии», по смыслу близка как раз к гипотезе Морделла. (Более того, похоже на то, что последняя вытекает из первой. Однако, никто не обратил на это внимания — верно, солидные люди не приняли всерьез этой программы, которая вообще немало для меня значит…)

(4). Впрочем, и в наши дни встречаются сомнительные доказательства. Например, доказательство Грауэрта теоремы конечности, получившей его имя. Несколько лет кряду его никто не мог прочесть, при том, что добровольцев хватало. Путаница разрешилась благодаря другим, более прозрачным доказательствам, которые появились позднее; некоторые из них в определенном смысле пошли дальше исходного. Похожая, но уже совсем из ряда вон выходящая история произошла с «решением» так называемой проблемы четырех красок. Его «вычислили» при помощи компьютера (и нескольких миллионов долларов). В то время как настоящее доказательство в математике всегда идет от внутреннего убеждения человека, от ясного понимания той или иной ситуации, здесь речь идет о расчете, основанном на доверии к машине, лишенной способности мыслить и понимать. Математик, взявшийся за эту работу, не понимает ее устройства; может ли он поручиться за результат? Даже если расчет будет подтвержден при проверке на других компьютерах, другими программами, я все равно не соглашусь признать проблему четырех красок закрытой. Это означало бы только, что можно оставить поиски контрпримера. Вопрос о настоящем доказательстве (разумеется, о таком, чтобы его можно было прочесть!) даже при этих условиях остается открытым.

(5). Это тем более примечательно, что вплоть до 1957 г. некоторые из членов группы Бурбаки относились ко мне не без некоторой настороженности. В конце концов они со мной смирились, хотя, думается мне, не без колебаний. Надо мной добродушно подшучивали, называя «опасным специалистом» (по функциональному анализу). Картан, должно быть, относился ко мне сдержаннее: иногда я чувствовал это. Кажется, в первые годы нашего знакомства он находил, что я склонен к поверхностным и безосновательным обобщениям. Помню, как он удивился, обнаружив в первой (и последней), чуть длинноватой, редакции главы, которую я написал для Бурбаки (речь шла о дифференциальном исчислении на многообразиях) какие-то содержательные мысли: в свое время, когда я предложил взять этот раздел на себя, он явно не был особенно рад. (Потом я еще раз вернулся к этим мыслям — намного позднее, когда развивал формализм вычетов с точки зрения когерентной двойственности.) Впрочем, на сборах Бурбаки я и сам нередко чувствовал себя потерянно, особенно во время совместных чтений по главам. Следить за ходом лекций и дискуссий в том ритме, в котором они обыкновенно проистекали, определенно было мне не по силам. Возможно, я и в самом деле не гожусь для совместной работы. То, что я с таким трудом вписывался в общий ритм, могло вызывать у Картана и прочих некоторую настороженность, но насмешки или снисходительное пренебрежение — никогда (разве что Вейль пару раз прошелся на мой счет, но это уж решительно особый случай!). Все эти годы Картан был со мною неизменно приветлив. Таков он был со всеми: сердечность, мягкость в отношениях с людьми, тонкий юмор для меня неотделимы от его образа.