Урожаи и посевы - Страница 18

Как это часто бывает в математике, нам удалось (благодаря решающему влиянию идеи о пучке, или «когомологическом метре») выразить некоторое понятие («пространства», в данном случае) в терминах другого («категории»). Всякий раз открытие такого перевода понятия (отражающего определенное положение вещей) на язык другого понятия (соответствующего ситуациям иного типа) обогащает наше представление о каждом из них путем неожиданного слияния особенностей интуитивного восприятия, характерных для одного и другого. Так, ситуация по природе «топологическая» (воплощенная в данном пространстве) оказывается здесь представленной ситуацией по природе «алгебраической» (воплощенной в «категории»); или, если угодно, «непрерывное», воплощенное в образе пространства, предстает «переданным», или «выраженным» структурой категории, по природе «алгебраической» (воспринимавшейся до сих пор как существенно «разрывная», или «дискретная»).

Более того, первое из этих понятий — пространства — казалось нам в каком-то смысле понятием (по содержательности) «максимальным» — настолько уже обобщенным, что едва ли можно себе представить его расширение, которое оставалось бы в рамках «разумного». Напротив, другая сторона зеркала, эти «категории» (или «арсеналы»), с которыми сталкиваются, сойдя с крыльца топологических пространств, имеют весьма частную природу. Они располагают в действительности набором свойств в высшей степени типических, что делает их как бы «имитациями» самой простой из них, какую только можно вообразить — той, которую получают, исходя из пространства, сведенного к одной точке. То есть «пространство в новом стиле» (или топос), обобщающее традиционные топологические пространства, будет описываться попросту как «категория», которая, не вытекая с необходимостью из обыкновенного пространства, тем не менее обладает всеми хорошими свойствами (единожды четко для всех определенными, разумеется) этой «категории пучков».

* * *

Вот это и есть новая идея. Ее возникновение можно рассматривать как результат наблюдения, сказать по правде, почти детской простоты, что то, что на самом деле важно в топологическом пространстве — это отнюдь не его «точки» и не его «подмножества» с отношениями близости между ними, но пучки над этим пространством и категория, которую они образуют. В том, чего я добился, я лишь довел до логического конца исходную идею Лерэ — тем самым переступил нечто, решившись сделать шаг.

Как сама идея о пучках (принадлежащая Лерэ), или о схемах, как всякая «большая идея» (концепция), которая переворачивает вверх дном закоснелое, устоявшееся мировосприятие, идея топоса ошеломляет своей естественностью, «очевидностью», простотой (на грани, я бы сказал, наивности и простоты даже «глуповатой») — тем особенным свойством, которое так часто вынуждает нас восклицать: «О, это невозможно!» — полуразочарованно, полузавистливо, еще, пожалуй, с оттенком, который можно передать словами «сумасбродно», «несерьезно», припасенными у всех, кто в ужасе шарахается, неожиданно столкнувшись с чем-то простым до неприличия. С тем, что нам напоминает, быть может, дни нашего младенчества, спрятанные глубоко в памяти, ибо мы давно от них отреклись…

14. Перерождение понятия пространства, или смелость и вера

14. Понятие схемы представляет собой значительное расширение понятия алгебраического многообразия, и за счет этого полностью обновляет алгебраическую геометрию, завещанную моими предшественниками. Понятие топоса — расширение или, лучше сказать, метаморфоза понятия пространства. Тем самым оно обещает произвести сходное обновление топологии и, за ее пределами, геометрии. Уже сейчас, впрочем, оно успело сыграть решающую роль для расцвета новой геометрии (главным образом через посредство вышедших из него тем /-адических и кристальных когомологии, позволивших доказать гипотезы Вейля). Идея топоса, как и ее старшая сестра (почти близнец), имеет две дополняющие друг друга черты, существенные для полного и плодотворного обновления; вот они.

Во-первых, новое понятие не чересчур широко, в том смысле, что на новые «пространства» (лучше называть их топосами, чтобы не задеть чуткого уха) самые важные интуитивные представления и геометрические конструкции, знакомые по старым добрым пространствам прежних времен, переносятся более или менее очевидным образом. Иначе говоря, для новых объектов имеется в распоряжении вся богатая гамма мысленных образов и ассоциаций, понятий и определенных технических средств, какие прежде не выходили за границы области объектов старинного толка.

Во-вторых, новое понятие в то же время достаточно широко, чтобы охватить все множество ситуаций, в которых, как раньше считалось, не место интуитивным представлениям «тополого-геометрической» природы — именно, тем, какие тогда связывались только с обыкновенными топологическими пространствами (и не без основания…).

С позиции гипотез Вейля решающим здесь является то обстоятельство, что новое понятие в действительности достаточно широко для того, чтобы позволить нам связать с любой «схемой» такое «обобщенное пространство», или «топос» (называемое «этальным топосом» рассматриваемой схемы). С самого начала было похоже, что определенные «когомологические инварианты» этого топоса (все, что есть внутри у этой смешной игрушки!) имели неплохой шанс обеспечить все необходимое для раскрытия полного смысла этих гипотез, и (кто знает!) предоставить, быть может, средства для их доказательства.